Question

已知关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4，其中a∈R．
（I）若a=1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的不等式，最后取并集即可得到该不等式的解集；
（Ⅱ）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥2x+4，显然成立；当x＞-2时，原不等式可化为|2x-a|+x+3≥2x+4，解不等式|2x-a|≥x+1，利用不等式的解集为R，即可求得参数a的取值范围．

解答： 解：（I）当x≤-3时，原不等式可化为-3x-2≥2x+4，得x≤-3；
当-3＜x≤

1

2

时，原不等式可化为4-x≥2x+4，得-3＜x≤0；
当x＞

1

2

时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，得x≥2；
综上，原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥2}…5分
（Ⅱ）当2x+4≤0，即x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥2x+4，显然成立；
当x＞-2时，原不等式可化为|2x-a|+x+3≥2x+4，即|2x-a|≥x+1，解得x≥a+1，或x≤

a-1

3

，
∵不等式的解集为R，
∴a+1≤-2，或a+1≤

a-1

3

，得a≤-2．
综上，a的取值范围是a≤-2…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．