Question

如图所示，在边长为a₁的正方形A₁B₁C₁D₁中，依次作无限个内接正方形A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D₃，…，使得∠B₁A₂B₂=∠B₂A₃B₃=…=θ，令它们的边长依次为a₂，a₃，…
（1）用θ，a₁表示a₂及a_n；
（2）求

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的函数特性

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）分别在在直角△A₂B₁B₂中，在直角△A₁A₂D₂中，求得a₁=a₂cosθ+a₂sinθ，即a₂=

a1

sinθ+cosθ

，由此推得
a_n=

a1

(cosθ+sinθ)n-1

；
（2）运用等比数列的求和公式，注意运用sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

），则

lim

n→∞

1

(sinθ+cosθ)n

=0．即可求得答案．

解答： 解：（1）在直角△A₂B₁B₂中，A₂B₁=A₂B₂cosθ=a₂cosθ，
在直角△A₁A₂D₂中，A₁A₂=A₂D₂sinθ=a₂sinθ，
则a₁=a₂cosθ+a₂sinθ，
即a₂=

a1

sinθ+cosθ

，
同理可得a₃=

a2

sinθ+cosθ

=

a1

(cosθ+sinθ)2

，
…
a_n=

an-1

cosθ+sinθ

，
则a_n=

a1

(cosθ+sinθ)n-1

，
（2）

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

lim

n→∞

（a₁+

a1

sinθ+cosθ

+…+

a1

(cosθ+sinθ)n-1

）
=

lim

n→∞

a1[1- 1 (sinθ+cosθ)n ]

1- 1 sinθ+cosθ

，
由于sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

），
则

lim

n→∞

1

(sinθ+cosθ)n

=0．
故原式=

a1

1- 1 sinθ+cosθ

．

点评：本题考查等比数列的通项和求和公式，考查无穷递缩等比数列的和的极限，属于中档题．