Question

已知f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）用定义法证明函数f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接由函数单调性的定义加以证明；
（2）由奇函数的性质得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函数的定义证明a=1时函数f（x）为奇函数．

解答： （1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•2x1+2-2•2x2-2

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）为R上的增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
∴a=1．
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

．
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
此时f（x）为奇函数，满足题意，
∴a=1．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．