Question

已知函数f（x）=

3-x

x2+2x+1

，g（x）=

1

3

ax³-a²x，（a≠0）
（1）当x∈[0，3]时，求f（x）的值域．
（2）对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使得2f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）通过函数f（x）=

3-x

x2+2x+1

关系式的恒等变换，转化成二次函数的标准形式，再利用函数的定义域来求函数的值域．
（2）由于函数g（x）=

1

3

ax³-a²x，（a≠0）属于高次函数，根据常规的分析，一般采用导数法来求解，来进一步确定参数的取值范围．

解答： 解：（1）已知函数f（x）=

3-x

x2+2x+1

通过恒等变换，转化为：
f（x）=

-(x+1)+4

(x+1)2

=4(

1

x+1

)2-(

1

x+1

)=4(

1

x+1

-

1

8

)2-

1

16

，
设

1

x+1

=t，则二次函数的对称轴方程为t=

1

8

 
∵0≤x≤3
∴

1

4

≤(

1

x+1

)≤1，即

1

4

≤t≤1，
根据t的取值范围在对称轴的一侧，具有严格的单调性，进一步求得
    0≤f（x）≤3
（2）又由于 0≤f（x）≤3，
则2f（x₁）的范围是0≤f（x₁）≤6
 由题意知：对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使得2f（x₁）=g（x₂）成立，
  则y=g（x）的值域包含（0，6]
∵g（x）=

1

3

ax³-a²x
∴g′（x）=ax²-a²=a（x²-a） x∈[0，3]
   ①当a＜0时 g′（x）＜0 g（x）在[0，3]上单调递减
    则g（x）≤g（0）=0  因此不合题意
   ②当0＜a＜9时    令g′（x）=0  得x=

a

                   令g′（x）＞0  得

a

＜x≤3
                   令g′（x）＜0  得  0≤x＜

a

       所以g（x）在（0，

a

）上单调递减，在[

a

，3]上单调递增
      显然  g（

a

）＜g（0）=0，由题意知 g（3）≥6
       即   a²-3a+2≤0  解得1≤a≤2
   ③当a≥9时 g′（x）=a（x²-a）≤0
   所以g（x）在（0，3）上单调递减
   则g（x）≤g（0）=0  因此也不合题意
   综上所述：实数a的取值范围为：1≤a≤2

点评：本题第一问在求函数的值域时利用二次函数的单调性求得值域； 第二问求参数的取值范围时，充分利用函数的导数对参数进行分类讨论求的结果