Question

6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+3f（2），且f（1）=1，则f（2015）+f（2016）的值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2016

Answer 1

分析 因为对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+3f（2），取x=-2，求出f（2）=0，可得函数f（x）的周期为4．然后根据函数y=f（x）是R上的奇函数，得到f（0）=0，即可得出结论．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+3f（2），
取x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+3f（2）
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=f（2）+3f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵f（1）=1，
∴f（2015）=f（-1）=-f（1）=-1，
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），可得f（0）=0
∴f（2016）=f（0）=0
∴f（2015）+f（2016）=-1．
故选：A．

点评 本题给出满足递推公式的一个奇函数，在已知f（x+4）=f（x）+3f（2），且f（1）=1的情况下求f（2015）、f（2016）的值，着重考查了函数的奇偶性和抽象函数及其应用，属于中档题．