Question

13．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）试讨论f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，从而确定a的值即可．

解答 解　（1）由题得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
当a＜0时，由f′（x）=0得x=-a，由f′（x）＞0得，x＞-a，由f′（x）＜0得，x＜-a，
∴当a＜0时，f（x）在（0，-a]上为减函数，在（-a，+∞）上为增函数．
（2）由（1）可知：f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a，当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$⇒a=-$\sqrt{e}$．
综上可知：a=-$\sqrt{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．