Question

4．已知圆C和x轴相切，圆心在第三象限并在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长为$2\sqrt{7}$
（1）求圆C的方程．
（2）已知直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，则b=3a，r=-3a，求出圆心到直线的距离d=-$\sqrt{2}a$，由圆被直线x-y=0截得的弦长为2$\sqrt{7}$，利用勾股定理求出a=-1，由此能求出圆C的标准方程．
（2）由直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，知圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，
则b=3a，r=-3a，
圆心到直线的距离d=$\frac{|a-3a|}{\sqrt{1+1}}$=-$\sqrt{2}a$，
∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2$\sqrt{7}$，
∴（-$\sqrt{2}a$）²+（$\frac{2\sqrt{7}}{2}$）²=（-3a）²，
即a²=1，解得a=-1，
则圆心为（-1，-3），半径为3，
则圆C的标准方程（x+1）²+（y+3）²=9．
（2）∵直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，
∴圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，
即d=$\frac{|-a-3+6|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＞3，
由-$\frac{3}{4}＜a＜0$．
∴a的取值范围是（-$\frac{3}{4}$，0）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，涉及到直线、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．