Question

16．已知圆C的圆心在射线3x-y=0（x≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ） 求圆C的方程；
（Ⅱ） 点A（1，1），B（-2，0），点P在圆C上运动，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），圆心在射线3x-y=0（x≥0）上，所以3a-b=0…①．圆与直线x=4相切，所以|a-4|=r…②…圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为$4\sqrt{3}$，所以${（{\frac{{|{3a+4b+10}|}}{5}}）^2}+{（{2\sqrt{3}}）^2}={r^2}$…③，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；
（Ⅱ）解法1：设t=x₀-y₀，即x₀-y₀-t=0．该直线与圆必有交点，所以$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}≤4$，即可求出|PA|²+|PB|²的最大值．
解法2：由$x_0^2+y_0^2=16$可设x₀=4sinα，y₀=4cosα，即可求出|PA|²+|PB|²的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）…（1分）
圆心在射线3x-y=0（x≥0）上，所以3a-b=0…①．…（2分）
圆与直线x=4相切，所以|a-4|=r…②…（3分）
圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为$4\sqrt{3}$，所以${（{\frac{{|{3a+4b+10}|}}{5}}）^2}+{（{2\sqrt{3}}）^2}={r^2}$…③…（4分）
将①②代入③，可得（3a+2）²+12=（a-4）²，化简得2a²+5a=0，解得a=0或$a=-\frac{5}{2}$（舍去）…（6分）
所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x²+y²=16．…（7分）
（Ⅱ）假设点P的坐标为（x₀，y₀），则有$x_0^2+y_0^2=16$．…（8分）${|{PA}|^2}+{|{PB}|^2}={（{{x_0}-1}）^2}+{（{{y_0}-1}）^2}+{（{{x_0}+2}）^2}+{（{{y_0}-0}）^2}=2x_0^2+2y_0^2+2{x_0}-2{y_0}+6$=38+2（x₀-y₀）．下求x₀-y₀的最大值．…（10分）
解法1：设t=x₀-y₀，即x₀-y₀-t=0．该直线与圆必有交点，所以$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}≤4$，解得$|t|≤4\sqrt{2}$，等号当且仅当直线x₀-y₀-t=0与圆x²+y²=16相切时成立．
于是t的最大值为$4\sqrt{2}$，所以|PA|²+|PB|²的最大值为$38+8\sqrt{2}$．…（12分）
解法2：由$x_0^2+y_0^2=16$可设x₀=4sinα，y₀=4cosα，于是${x_0}-{y_0}=4sinα-4cosα=4\sqrt{2}sin（{α-\frac{π}{4}}）$，所以当$sin（{α-\frac{π}{4}}）=1$时，x₀-y₀取到最大值$4\sqrt{2}$，
所以|PA|²+|PB|²的最大值为$38+8\sqrt{2}$．…（12分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．