Question

8．已知角α的终边落在第二象限，且与单位圆交点的纵坐标为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，将角α的终边逆时针旋转$\frac{π}{2}$与角β的终边重合．
（Ⅰ） 求cosα；
（Ⅱ） 求$\frac{{sinα-cos（{α-π}）}}{{sinβ+2sin（{\frac{π}{2}-β}）}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解法一：利用定义以及三角函数的平方关系式，求解即可． 
解法二：利用角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为${y_P}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求出横坐标，利用三角函数的定义求解即可．
（Ⅱ）求出$β=α+\frac{π}{2}+2kπ$，求出$sinβ=sin（{α+\frac{π}{2}+2kπ}）=cosα$，利用诱导公式化简所求的表达式，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）解法一：$由题意得sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，…（2分）  
 又sin²α+cos²α=1，α是第二象限角…（3分）
所以$cosα=-\sqrt{1-{{sin}^2}α}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（5分）
解法二：因为角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为${y_P}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
又x²+y²=1，α是第二象限角，所以${x_P}=-\sqrt{1-y_P^2}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（3分）       
所以$cosα={x_P}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（5分）
（Ⅱ）依题意$β=α+\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，…（6分）   
所以$sinβ=sin（{α+\frac{π}{2}+2kπ}）=cosα$…（7分）
$sin（{\frac{π}{2}-β}）=sin（{-α-2kπ}）=-sinα$…（8分）  
所以$\frac{{sinα-cos（{α-π}）}}{{sinβ+2sin（{\frac{π}{2}-β}）}}=\frac{sinα+cosα}{cosα-2sinα}$…（9分）
=$\frac{tanα+1}{1-2tanα}=\frac{-2+1}{1+4}=-\frac{1}{5}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的定义的应用，诱导公式以及三角函数化简求值，考查计算能力．