Question

5．已知关于x的方程xln x=ax+1（a∈R），下列说法正确的是（　　）

• A． 有两不等根
• B． 只有一正根
• C． 无实数根
• D． 不能确定

Answer 1

分析 先将方程变形为lnx=a+$\frac{1}{x}$，构造函数f（x）=lnx-a-$\frac{1}{x}$，确定函数f（x）=lnx-a-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调增，再利用零点存在定理即可得到结论．

解答 解：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化为lnx=a+$\frac{1}{x}$．
构造函数f（x）=lnx-a-$\frac{1}{x}$，则f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0．
∴函数f（x）=lnx-a-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调增．
∵x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＞0．
∴方程一定有一个正实数根．
故选：B．

点评 本题重点考查方程根的存在性，零点个数的判断，考查导数知识的运用，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性．