Question

1．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF₂|=|F₁F₂|，且esin∠MF₁F₂=1，则该双曲线的离心率e等于（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{e}$=$\frac{2a}{2c}$，运用双曲线的定义可得4b-2c=2a，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，可得e的方程，解方程可得e．

解答 解：依题设，|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∵esin∠MF₁F₂=1，∴sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{e}$=$\frac{2a}{2c}$，
∴等腰三角形MF₁F₂底边上的高为2a，∴底边MF₁的长为2$\sqrt{（2c）^{2}-（2a）^{2}}$=4b，
由双曲线的定义可得4b-2c=2a，∴2b=a+c，
∴4b²=（a+c）²，即4b²=a²+2ac+c²，
∴3e²-2e-5=0，解得e=$\frac{5}{3}$（-1舍去）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法和转化思想，以及运算能力，属于中档题．