Question

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，$∠ADC=\frac{π}{3}$，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=1，点M在线段EF上．
（1）当$\frac{FM}{EM}$为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（2）求三棱锥E-BDF的体积V_E-BDF．

Answer 1

分析 （1）当$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$时，设AC∩BD=O，连接FO，推导出AB∥DC，ACFE是矩形，从而四边形AOFM是平行四边形，由此推导出AM∥平面BDF．
（2）连接OE，过点B作BG⊥AC于点G，三棱锥E-BDF的体积V_E-BDF=V_B-OEF+V_D-OEF．

解答 解：（1）当$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$时，AM∥平面BDF．
证明如下：
在梯形ABCD中，设AC∩BD=O，连接FO，
因为AD=BC=1，∠ADC=60°，
所以DC=2，又AB=1，AB∥DC
因此CO：AO=2：1，
所以$\frac{FM}{EM}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，因为ACFE是矩形，
所以四边形AOFM是平行四边形，
所以AM∥OF，
又OF?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF；
（2）连接OE，过点B作BG⊥AC于点G，
因为平面ACFE⊥平面ABCD，且交线为AC，
所以BG⊥平面ACFE，即BG为点B到平面ACFE的距离，
因为AB=BC=1，∠ABC=120°，所以$BG=\frac{1}{2}$
又因为DA⊥AC，平面ACFE⊥平面ABCD，所以DA⊥平面ACFE，
即DA为点D到平面ACFE的距离，
故三棱锥E-BDF的体积${V_{E-BDF}}={V_{B-OEF}}+{V_{D-OEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×（1+\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查线面平行时两线段比值的判断与求出，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．