Question

3．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥4-|x+1|；
（2）若不等式f（x）≤1的解集为$[{0，2}]，\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a（{m＞0，n＞0}）$，求mn的最小值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为|x+1|+|x-1|≥4，去绝对值，求出不等式的解集即可；
（2）求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值，根据基本不等式的性质求出mn的最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-a|，
当a=1，不等式为f（x）≥4-|x+1|?|x+1|+|x-1|≥4，
去绝对值，解得：x≥2或x≤-2，
原不等式的解集为（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（2）f（x）≤1的解集为[0，2]，?|x-a|≤1?a-1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集为[0，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.⇒a=1$，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1≥2\sqrt{\frac{1}{2mn}}（m＞0，n＞0）$，
∴mn≥2，（当且仅当$\frac{1}{m}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$即m=2，n=1时取等号），
∴mn的最小值为2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，考查对应思想以及转化思想，是一道中档题．