Question

15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求$\frac{PG}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明：AE⊥平面PCD，即可证明AE⊥PC；
（2）取AP中点M，连接MF，MG，ME，利用平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，MG∥AE，即可求$\frac{PG}{PD}$的值．

解答 （1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，
在矩形ABCD中，CD⊥AD，
又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴AE⊥PC
（2）解：$\frac{PG}{PD}=\frac{1}{4}$
取AP中点M，连接MF，MG，ME．
在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点
则ME为△PAD的中位线∴$ME∥AD，ME=\frac{1}{2}AD$，
又$FC∥AD，FC=\frac{1}{2}AD$，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，
又MF?平面AEC，EC?平面AEC，∴MF∥平面AEC，
又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG?平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，
又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，
又∵M为AP中点，∴G为PE中点，
又E为PD中点，∴$PG=\frac{1}{4}PD$，即$\frac{PG}{PD}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面、面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．