Question

10．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，且对任意n∈N*，a_n+1=a_n²+a_n，c_n=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，数列{c_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇的整数部分是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_n，a₁=$\frac{1}{3}$．可得a_n+1＞a_n，a₄＞1．即n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1）．由a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_n，可得：$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，即c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_n，a₁=$\frac{1}{3}$，∴a_n+1＞a_n．
∴a₂=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=$（\frac{4}{9}）^{2}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$，a₄=$（\frac{52}{81}）^{2}$+$\frac{52}{81}$=$\frac{6916}{6561}$＞1．
∴n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1）．
∵a_n+1=${a}_{n}^{2}$+a_n，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴S₂₀₁₇=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2018}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2018}}$∈（2，3）．
其整数部分为2．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列的单调性、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．