Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为棱A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C₁到面PAC的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、．

（Ⅰ）由得，
即，∴，即P为A₁B的中点，
也即A₁P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，P点的坐标是．取．
则，．
∴是平面PAC的一个法向量．
又平面ABC的一个法向量为．
∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…8′
（Ⅲ）设C₁到面PAC的距离为d，则，∴C₁到面PAC的距离为．…12′
分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用可求A₁P：PB=1．
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，求得P点的坐标是．分别求出平面PAC、ABC的一个法向量．再用公式可求
（Ⅲ）设C₁到面PAC的距离为d，利用，可求．
点评：本题以正三棱柱为载体，考查空间向量的运用，考查线线位置关系，考查二面角，考查点到面距离．