Question

【题目】设双曲线的方程为.

（1）设是经过点的直线，且和有且仅有一个公共点，求的方程；

（2）设是的一条渐近线，、是上相异的两点.若点是上的一点，关于点的对称点记为，关于点的对称点记为.试判断点是否可能在上，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或或或；（2）点不可能在双曲线上，理由详见解析.

【解析】

（1）对所求直线分三种情况讨论：①轴，验证即可；②直线与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由求出直线的斜率，可得出直线的方程；③直线与双曲线的渐近线平行，可得出直线的方程.综合可得出所求直线的方程；

（2）假设点在双曲线上，设直线的方程为，设点、，，求出点、的坐标，再将点的坐标代入双曲线的方程验证即可得出结论.

（1）①当直线的斜率不存在时，方程为，显然与双曲线相切，只有一个交点，符合题意，

②当直线的斜率存在且与双曲线相切时，设斜率为，

则直线的方程为，即，

联立方程，消去得，

直线和双曲线有且仅有一个公共点，，

化简得，解得，此时，直线的方程为，即；

③当直线与双曲线的渐近线平行时，也与双曲线有且仅有一个公共点，

双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，

所以，直线的方程为或，即或.

综上所述，直线的方程为或或或；

（2）假设点在双曲线上，

不妨设直线方程为，设点、、，

关于点的对称点记为，点，

关于点的对称点记为，点，

点在双曲线上，，

，

∴，

又点在双曲线上，，

上式化为，，，即，

，则，此式显然不成立，

故假设不成立，所以点不可能在双曲线上.