Question

已知平面凸四边形ABCD的边长均大于2，且∠DAB=45°，点P在四边形ABCD内运动，且在AB、AD上的射影分别为M、N，若PA=2，则△PMN面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：设∠PAM=α，求出PM、PN，然后利用两角和与差的三角函数化简表达式，通过三角函数的最值求解即可．

解答： 解：如图设∠PAM=α，PM=2sinα，PN=2sin（45°-α），
△PMN面积S=

1

2

PM•PNsin135°=

2

sinαsin（45°-α）
=sinαcosα-sin²α
=

1

2

sin2α-

1

2

(1-cos2α)
=

2

2

sin（2α+45°）-

1

2

．
∵α∈[0°，45°]，2α+45°∈[45°，135°]，

2

2

sin（2α+45°）-

1

2

≤

2

2

-

1

2

．
三角形面积的最大值为：

2

2

-

1

2

．
故答案为：

2

2

-

1

2

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力．