Question

利用单调性的定义，讨论f（x）=

ax

x2-1

在（-1，1）上的单调性，a为实数且a≠0．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，讨论a，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可判断f（x）在（-1，1）上的单调性．

解答： 解：设-1＜x₁＜x₂＜1；
则f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x12-1＜0，x22-1＜0，x2-x1＞0，x₁x₂+1＞0；
∴若a＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上单调递减；
若a＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增．

点评：考查单调性的定义，以及利用定义判断函数单调性的过程．