Question

6．设焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值为4．

Answer 1

分析 由题意可知离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求得b的值，则F（-1，0），A（2，0），设点P（x₀，y₀），${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），根据向量数量积的坐标表示，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，由-2≤x₀≤2，即可求得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值．

解答 解：由焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a=2，c=$\sqrt{4-{b}^{2}}$，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得：b²=3，
∴椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴F（-1，0），A（2，0），设点P（x₀，y₀），
则有$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得：${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），
$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），
$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-x₀-2+3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$-x₀+1=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，
∵-2≤x₀≤2，
∴当x₀=-2时，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$取最大值，最大值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力，属于中档题．