【题目】已知为椭圆
上的三个点,
为坐标原点.
(1)若所在的直线方程为
,求
的长;
(2)设为线段
上一点,且
,当
中点恰为点
时,判断
的面积是否为常数,并说明理由.
【答案】(1);(2)定值为
【解析】
试题(1)因为求所在的直线方程为
与椭圆方程
相交所得的弦长.一般是通过联立两方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,可以解得两个交点的坐标的横坐标,确定点的坐标,从而根据两点的距离公式求出弦长.
(2)直线与圆的位置关系,首先考虑直线的斜率是否存在,做好分类的工作.若当斜率存在时,通过联立方程,应用韦达定理知识,求出弦长,利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积(含斜率的等式).再根据的关系求出点P的坐标,带到椭圆方程中,即可求出含斜率的一个等式,从而可得结论.
试题解析:(1)由 得
,
解得或
,
所以两点的坐标为
和
所以
.
(2)①若是椭圆的右顶点(左顶点一样),则
,
因为,
在线段
上,所以
,求得
,
所以的面积等于
.
②若B不是椭圆的左、右顶点,设,
,
由 得
,
,
所以,的中点
的坐标为
,
所以,代入椭圆方程,化简得
.
计算.
因为点到
的距离
所以,的面积
.
综上,面积为常数
.
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【题目】如图,在棱长为1的正方体中,
分别为棱
的中点.
为面对角线
上任一点,则下列说法正确的是( )
A.平面内存在直线与
平行
B.平面截正方体
所得截面面积为
C.直线和
所成角可能为60°
D.直线和
所成角可能为30°
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【题目】设数列的前n项和为
,已知
,
,
.
(1)证明:为等比数列,求出
的通项公式;
(2)若,求
的前n项和
,并判断是否存在正整数n使得
成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.
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【题目】已知抛物线过点
,且焦点为F,直线l与抛物线相交于A,B两点.
⑴求抛物线C的方程,并求其准线方程;
⑵为坐标原点.若
,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
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【题目】关于曲线,给出下列四个结论:
①曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称;
②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
③曲线C上任意一点都不在圆的内部;
④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于.
其中,正确结论的序号是________.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数.
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【题目】某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况,得到柱图:
2016年高考数据统计 2019年高考数据统计
则下列结论正确的是( )
A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加
B.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5倍
C.与2016年相比,2019年艺体达线人数相同
D.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
为左顶点,过点
的直线交椭圆
于
,
两点,直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.
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