Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，且极小值为-2，求a，b的值．
（2）若x∈[0，1]，函数f（x）在图象上任意一点的切线的斜率为k，求k≤1恒成立时a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过求函数的导数，函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，就是x=0，x=2时导数为0，求出a，利用极小值为-2，求出b；
（2）由（1）可得f（x）的解析式．x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，k≤1恒成立，就是导函数的值域≤1恒成立，再用二次函数根与系数的关系，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）由f'（x）=3x²+2ax得x=0或x=-

2a

3

∴-

2a

3

=2得a=-3．…（3分）
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时f'（x）＞0
故当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=8+4a+b=-2
所以b=2…（6分）
（2）当x∈[0，1]，k=f'（x）=3x²+2ax≤1恒成立，
即令g（x）=3x²+2ax-1≤0对一切x∈[0，1]恒成立，…（9分）
只需

g(0)=-1≤0 g(1)=2+2a≤0

即a≤-1
所以a的取值范围为（-∞，-1]．…（12分）

点评：本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题，同时考查学生的逻辑推理能力和灵活应用知识的能力．