设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(Ⅰ)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(Ⅱ)如果关于x的不等式f(x)≤2有解,求a的取值范围.
【答案】
分析:(Ⅰ)当a=-1时,可得|x-1|+|x+1|≥3,分①当x≤-1时,②当-1<x<1时,③当x≥1时,分别求出解集,再取并集即得
所求.
(Ⅱ)由题意可得 f(x)
min≤2,由绝对值的意义可得f(x)
min=|a-1|,故有|a-1|≤2,由此求得a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|. 由f(x)≥3得,|x-1|+|x+1|≥3.
①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即
.
所以,原不等式的解为
.(1分)
②当-1<x<1时,不等式化为1-x+1+x≥3,即2≥3.
所以,原不等式无解.(2分)
③当x≥1时,不等式化为-1+x+1+x≥3,即
.
所以,原不等式的解为
.(3分)
综上,原不等式的解为
.(4分)
(Ⅱ)因为关于x的不等式f(x)≤2有解,所以,f(x)
min≤2.(5分)
因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和,
所以,f(x)
min=|a-1|.(6分)
∴|a-1|≤2,解得,-1≤a≤3.
所以,a的取值范围为[-1,3].(7分)
点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.