Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)证明PA⊥平面ABCD.

(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小.

(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:

∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,

∴AB=AD=AC=a.

    在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.

    同理，PA⊥AD.

∴PA⊥平面ABCD.

(2)解:作EG∥PA交AD于点G，

    由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.

    作GH⊥AC于点H，连结EH，则EH⊥AC,

∠EHG即为二面角θ的平面角.

    又PE∶ED=2∶1,

∴EG=a,AG=a,GH=AGsin60°=a.

    从而tanθ==,θ=30°.

(3)解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.

    证明如下:

    取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE,故FM∥平面AEC.                       ①

    由EM=PE=ED,知E是MD的中点.

    连结BM、BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点.

∴BM∥OE.故BM∥平面AEC.                                                        ②

    由①②知,平面BFM∥平面AEC.

    又BF平面BFM,

∴BF∥平面AEC.