Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）若a=4，求当x∈[2，5]时函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=4，我们要以根据函数f（x）=x|x-a|+2x-3，根据x∈[2，5]，利用零点分段法，分别求出2≤x＜4时和4≤x≤5时，函数的最大值，进而根据分段函数最大值的定义得到答案．
（2）根据零点分段法，我们可以将函数f（x）=x|x-a|+2x-3的解析式化为分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，可以得到第一段函数的对称轴不小于a，而第二段函数的对称轴不大于a，进而构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，
若2≤x＜4，f（x）=-x²+6x-3=-（x-3）²+6
∴当x=3时，f（x）有最大值是f（3）=6…（4分）
若4≤x≤5，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴当x=5时，f（x）有最大值是f（5）=12
故当x=5时，f（x）有最大值12                            …（8分）
（2）从已知f(x)=

x2-(a-2)x-3   x≥a -x2+(a+2)x-3   x＜a

…（10分）
依题意，

a-2 2 ≤a a+2 2 ≥a

⇒-2≤a≤2，f（x）是R上的增函数       …（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，带绝对值的函数，分段函数的解析式求法，函数单调性的性质，其中（1）的关键是利用零点分段法，确定分类标准，（2）的关键是根据第一段函数的对称轴不小于a，而第二段函数的对称轴不大于a，构造出一个关于a的不等式组．