Question

设x²+ax+b²=0是关于x的一元二次方程
（1）若a，b是分别从{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的数字，求方程有实根的概率．
（2）若a，b都是从区间[-1，1]中任取的一个数字，求方程有实根的概率．

Answer 1

分析：根据题意，由一元二次方程的性质，可得x²+ax+b²=0有实根的充要条件为a²≥4b²，
（1）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到12个不同方程，对a分情况讨论，可得满足a²≥4b²的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案；
（2）由题意分析可得，这是几何概型，将-1≤a≤1，-1≤b≤1表示为平面区域，进而可得其中满足a²≥4b²的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．

解答：解：根据题意，方程x²+ax+b²=0有实根的充要条件为a²≥4b²
（1）由题意，a，b是分别从{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的数字；
则a有4种取法，b有3种取法，共有12不同的情况，可以得到12个不同方程，
当a=1时，b=0，满足a²≥4b²，有1种情况满足方程有实根；
当a=2时，b=0、1，满足a²≥4b²，有2种情况满足方程有实根；
当a=3时，b=0，1；满足a²≥4b²，有2种情况满足方程有实根；
当a=4时，b=0、1、2，满足a²≥4b²，有3种情况满足方程有实根；
共有1+2+2+3=8种情况满足方程有实根，
∴p=

8

12

=

2

3

；
（2）由题意得：-1≤a≤1，-1≤b≤1，右图的正方形区域，
∵△=a²-4b²≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，即图中阴影区域，
由图可知p=

1 2 ×1×1×2

2×2

=

1

4

．

点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．