Question

函数f(x)=x+

a

x

（a为常数）的图象过点（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=t+4x-x²（t为常数）的正根的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先依题意有0=2+

a

2

?a=-4，从而得出函数的解析式：f(x)=x-

4

x

，再根据函数奇偶性的定义：由f（-x）=-f（x）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，等价于x-

4

x

+2x-m＞0对x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m，下面研究h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]的单调性即可得出实数m的取值范围；
（III）设y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²结合图象得出结论：①当t＜-4时，正根的个数为0；②当t=-4时，正根的个数为1；③当t＞-4时，正根的个数为2．

解答：解：（Ⅰ）依题意有0=2+

a

2

?a=-4，
此时f(x)=x-

4

x

，其定义域为x|x≠0，由f（-x）=-f（x）即f(x)=x-

4

x

为奇函数；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，即x-

4

x

+2x-m＞0对x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m
令h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]先证其单调递增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
则h(x2)-h(x1)=x2-

4

x2

+2x2-(x1-

4

x1

+2x1)=

(x2-x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2-2x1)
因为2≤x₁＜x₂≤3，则h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]递增，
则h(x)=x-

4

x

+2x的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）设y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²
结合图象得：
①当t＜-4时，正根的个数为0；
②当t=-4时，正根的个数为1；
③当t＞-4时，正根的个数为2．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．