Question

9．求y=cos²x-sinx-3的值域．

Answer 1

分析 由三角函数知识化简函数的表达式为正弦函数的形式，令sinx=t，则t∈[-1，1]，利用二次函数的性质求解函数值域即可．

解答 解：化简可得y=cos²x-sinx-3=-sin²x-sinx-2
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
令sinx=t，则t∈[-1，1]，
由二次函数的性质可知y=-2（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
在t∈[-1，$\frac{1}{2}$]单调递增，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]单调递减，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，函数取到最大值：$-\frac{7}{4}$，
当t=-1时，函数取到最小值-2．
y=cos²x-sinx-3的值域：[-2，-$\frac{7}{4}$]．

点评 本题考查复合三角函数的单调性和最值，换元是解决问题的关键，属中档题．