Question

4．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P为C₁上一点，|PF|=4，点P到y轴的距离等于3．
（1）求抛物线C₁的标准方程；
（2）设A，B为抛物线C₁上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y=x上，P（0，2）为定点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C₁的标准方程；
（2）求出△PAB面积S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$•$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4a-{a}^{2}）^{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{[-（a-2）^{2}+4]^{3}}$，即可求出△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）∵P为C₁上一点，|PF|=4，点P到y轴的距离等于3，
∴4=3+$\frac{p}{2}$，
∴p=2，
∴抛物线C₁的标准方程：y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂．y₂），D（a，a），则y₁+y₂=2a，x₁+x₂=2a，
A，B代入抛物线方程，作差整理可得k_AB=$\frac{2}{a}$，
∴AB的方程为y-a=$\frac{2}{a}$（x-a），即2x-ay-2a+a²=0，
∴P到直线AB的距离为d=$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$．
直线AB方程与y²=4x联立可得y²-2ay-4a+2a²=0，
∴y₁+y₂=2a，y₁y₂=-4a+2a²，△＞0⇒0＜a＜4
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{4{a}^{2}+16a-8{a}^{2}}$=$\sqrt{16a-4{a}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$，
∴△PAB面积S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{a}^{2}）（4a-{a}^{2}）}$•$\frac{|-4a+{a}^{2}|}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4a-{a}^{2}）^{3}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{[-（a-2）^{2}+4]^{3}}$，
∴a=2时，△PAB面积取得最大值，最大值为4．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．