Question

   已知椭圆：的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，

所以.

所以.

所以：，即.

因为椭圆过点，

得， .

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.

根据题意， 可设直线的方程为，

由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.

设，.

由方程组消得

.

则 .

所以=.

同理可得.

所以.