Question

8．数列{a_n}前n项和为S_n，a_n，S_n，S_n-$\frac{1}{2}$成等比数列，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列，d=2．

Answer 1

分析 由已知条件利用等比数列的性质得${a}_{n}（{S}_{n}-\frac{1}{2}）={{S}_{n}}^{2}$，从而得到-$\frac{1}{2}{S}_{n}$+$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=S_nS_n-1，由此能求出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，公差为2．

解答 解：∵数列{a_n}前n项和为S_n，a_n，S_n，S_n-$\frac{1}{2}$成等比数列，
∴${a}_{n}（{S}_{n}-\frac{1}{2}）={{S}_{n}}^{2}$，
∴（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$）=${{S}_{n}}^{2}$，
整理，得：-$\frac{1}{2}{S}_{n}$+$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，公差为2．
故答案为：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}，2．

点评 本题考查等差数列的判断及等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．