Question

8．已知函数f（x）=e^x+ax．
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（2）若对任意实数x＞0，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义，即可求a的值；
（2）当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数h（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，由导数求其最大值，则a的范围可求．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f′（x）=e^x+a，因此y=f（x）在（1，f（1））处的切线l的斜率为e+a，
又直线x+（e-1）y=1的斜率为$\frac{1}{1-e}$，
∴（e+a）$\frac{1}{1-e}$=-1，
∴a=-1．                        …（6分）
（2）∵当x＞0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
则a＞-$\frac{{e}^{x}}{x}$恒成立，设h（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，则h′（x）=$\frac{（1-x）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，…（8分）
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，…（10分）
故当x=1时，h（x）取得极大值，h（x）_max=h（1）=-e，
∴实数a的取值范围为（-e，+∞）．                             …（12分）

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数．