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    【题目】如图，直三棱柱中，，、、分别是线段、、的中点，，，在线段上运动，设.

    （1）证明：；

    （2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）证明见解析；（2）存在，在上，且

    【解析】

    （1）推导出，，由线面垂直的判定定理，得到面，由此证得；

    （2）以为坐标原点，分别以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得存在点P，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.

    （1）在中，，得

    同理可得，所以，

    得，又，

    由线面垂直的判定定理，可得面，

    又由面，所以.

    （2）由(Ⅰ)可得，不妨设，，

    以为坐标原点，分别以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

    则

    ，

    故

    设平面的法向量为

    所以，

    令，则，，得，

    取平面的一个法向量为，

    假设存在点满足题意，

    则，

    化简得，解得或，

    又由，所以，

    综上，存在点，使得平面与平面的夹角为.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为增强学生法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表.

    分数段

    人数

    5

    15

    15

    12

    （Ⅰ）求频数分布表中的的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数（精确到0.1）；

    （Ⅱ）将成绩在内定义为“合格”，成绩在内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.

    合格

    不合格

    合计

    高一新生

    12

    非高一新生

    6

    合计

    试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.

    附：

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

    ，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

    （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

    （2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.

    （1）证明：直线l与曲线C相切；

    （2）设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是曲线C上任意一点，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元．

    （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

    （2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

    （1）求证：；

    （2）求二面角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.

    （1）求实数的值；

    （2）若函数,对任意,恒成立.

    （i）求实数的取值范围；

    （ii）证明：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：

    年龄（岁）

    频数

    5

    15

    10

    10

    5

    5

    了解

    4

    12

    6

    5

    2

    1

    （1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

    （2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

    了解新高考

    不了解新高考

    总计

    中青年

    中老年

    总计

    附：.

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    （3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

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