Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.

（1）证明：直线l与曲线C相切；

（2）设直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是曲线C上任意一点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用加减消元法把直线l化成普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化公式把曲线C化成直角坐标方程形式，最后通过圆心到直线的距离进行证明即可；

（2）由（Ⅰ）知，，设点P坐标为，根据两点间距离公式，结合辅助角公式进行求解即可.

（1）直线l的普通方程为，

根据，，，

代入得曲线C的直角坐标方程为，

即，

圆心为，半径为，圆心C到直线l的距离，

故直线l与曲线C相切.

（2）由（Ⅰ）知，，

设点P坐标为，

，

则

，

故的取值范围为.