Question

（1）已知函数f（x）=

x-7

(a-1)x2+4 a-1 •x+5

的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）不等式x-1＜2mx+3-m对于满足0≤m≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围；
（3）设∫：A→B是从集合A到集合B的映射，在∫的作用下集合A中元素（x，y）与集合B元素（2x-1，4-y）对应，求与B中元素（0，1）对应的A中元素．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为R，说明对所有的实数x分母不等于0恒成立，然后分二次项系数等于0和不等于0进行讨论，当二次项系数不等于0时，同时满足根式有意义，可知二次项系数必大于0；
（2）通过把不等式变形，化为关于m的一次不等式，然后由一次函数在[0，2]上的值大于0列式计算；
（3）直接由

2x-1=0 4-y=1

求解x，y的值，则答案可求．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，
∴（a-1）x²+4

a-1

x+5≠0在R上恒成立．
①a-1=0时，即a=1时，5≠0恒成立；
②a-1≠0时，则

a-1＞0 16(a-1)-20(a-1)＜0

?

a-1＞0 -4(a-1)＜0

?a＞1；
由①②得a≥1；
（ 2 ）x-1＜2mx+3-m
?（2x-1）m+4-x＞0．
令g（m）=（2x-1）m+4-x．
知g（m）是关于m的线性函数，只需

g(0)=4-x＞0 g(2)=2(2x-1)+4-x＞0

?

x＜4 x＞- 2 3

?-

2

3

＜x＜4
∴x的取值范围为（-

2

3

，4）；
（3）由题意知

2x-1=0 4-y=1

，解得

x= 1 2 y=3

．
∴A中元素为（

1

2

，3）．

点评：本题考查了映射的概念，考查了更换主元的思想方法，训练了利用分类讨论的数学思想方法求函数的定义域，是中档题．