试题分析:(Ⅰ)利用导数分析函数单调性,求最值;(Ⅱ)利用导数分析函数单调性,分类讨论.
试题解析:(Ⅰ)求导数,得f ′(x)=
-
=
(x>0).
(1)当a≤0时,f ′(x)=
>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,无最小值.
(2)当a>0时,令f ′(x)=0,解得x=a
2.
当0<x<a
2时,f ′(x)<0,∴f(x)在(0,a
2)上是减函数;
当x>a
2时,f ′(x)>0,∴f(x)在(a
2,+∞)上是增函数.
∴f(x)在x=a
2处取得最小值f(a
2)=a-alna.
故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=a-alna(a>0). 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知φ(a)=a-alna(a>0),
求导数,得φ′(a)=-lna.
(ⅰ)令φ′(a)=0,解得a=1.
当0<a<1时,φ′(a)>0,∴φ(a)在(0,1)上是增函数;
当a>1时,φ′(a)<0,∴φ(a)在(1,+∞)上是减函数.
∴φ(a)在a=1处取得最大值φ(1)=1.
故当a∈(0,+∞)时,总有φ(a)≤1. 10分
(ⅱ)当a>0,b>0时,
=-
=-ln
, ①
φ′(
)=-ln(
)≤-ln
, ②
φ′(
)=-ln(
)≥-ln
=-ln
, ③
由①②③,得φ′(
)≤
≤φ′(
). 14分