Question

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，b4＝54，a1＋a2＋a3＝b2＋b3．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)数列{cn}满足cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

 

Answer 1

（1）an＝6n－4 bn＝2·3n－1

（2）Sn＝7＋(6n－7)·3n

【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由b4＝b1q3，得q3＝＝27，从而q＝3，

因此bn＝b1·qn－1＝2·3n－1，

又a1＋a2＋a3＝3a2＝b2＋b3＝6＋18＝24，∴a2＝8，

从而d＝a2－a1＝6，故an＝a1＋(n－1)·6＝6n－4．

(2)cn＝anbn＝4·(3n－2)·3n－1，

令Tn＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n－5)·3n－2＋(3n－2)·3n－1．

3Tn＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n－5)·3n－1＋(3n－2)·3n．

两式相减得

－2Tn＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n－1－(3n－2)·3n＝1＋3×－(3n－2)·3n＝1＋－(3n－2)·3n，

∴Tn＝＋，故Sn＝4Tn＝7＋(6n－7)·3n．