Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+1．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=$\frac{1}{3}$^x3的对称中心，通过平移变换，函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，直接写出a的值；
（Ⅱ）求出函数的导数，利用a与0大小比较，分类讨论通过等号的符号，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）利用f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，转化为a的不等式，然后求解最值，即可求a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数y=x³的对称中心（0，0），平移变换后函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+1的对称中心（0，1），
∴a的值是0．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2ax．…（4分）
当a=0时，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
当a＜0时，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0．…（7分）
综上所述，当a=0时，无递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，2a）；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（2a，0）．
（Ⅲ）因为 f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{3}$x³-ax²≥0在区间[3，+∞）上恒成立．
所以a≤$\frac{1}{3}x$在区间[3，+∞）上恒成立．…（10分）
因为 x≥3，
所以$\frac{1}{3}x≥1$．…（11分）
所以 a≤1．…（13分）
所以 若f（x）≥1在区间[3，+∞）上恒成立，a的最大值为1．…（14分）

点评 本题考查函数的对称性，导函数求解函数的单调区间，函数的恒成立问题的应用，考查分类讨论转化思想的应用，是中档题．