Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有 成立．
（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；
（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是[﹣1，1]上的增函数．

理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）

∵ ＞0，

即 ＞0，

∵x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．

（2）解：由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，

可得不等式f（x2）＜f（2x），即为

即

解得0＜x≤ ，则解集为（0， ]；

（3）解：要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，

只须 ，

解得m≤﹣2或m≥2或m=0，

则实数m的取值范围是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．

【解析】（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数；（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，不等式即为﹣1≤x2＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围；（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．