Question

已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．

（1）求抛物线的方程；

（2）设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．

 

Answer 1

（1）抛物线的方程为．（2）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的定义得，根据解得，得到抛物线的方程为．

（2）首先，由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数；

设直线的斜率为，则，由题意，把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，

由韦达定理得，即，同理，

推出；

设，把代入抛物线方程得，

由题意，且，得，

由“弦长公式”，点到的距离，

得到，设， 12分

整理后构造函数，，应用导数研究其最值， 的面积取最大值时，得出直线的方程为．

试题解析：（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，3分

因此，解得，从而抛物线的方程为． 6分

（2）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数

设直线的斜率为，则，由题意， 7分

把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，

由韦达定理得，即，同理，

所以， 9分

设，把代入抛物线方程得，

由题意，且，从而

又，所以，点到的距离，

因此，设， 12分

则，

由知，所以在上为增函数，因此，

即面积的最大值为．

的面积取最大值时，所以直线的方程为． 14分

考点：1.抛物线的定义及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线方程；4.应用导数研究函数的最值.