Question

（2011•洛阳二模）巳知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形PF₁F₂，若边PF₁的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  +1
• C．

  1

  2

• D．

  3 -1

  2

Answer 1

分析：设边PF₁的中点为Q，连接F₂Q，Rt△QF₁F₂中，算出|QF₁|=c且|QF₂|=

3

c，根据椭圆的定义得2a=|QF₁|+|QF₂|=（1+

3

）c，由此不难算出该椭圆的离心率．

解答：解：由题意，设边PF₁的中点为Q，连接F₂Q
在△QF₁F₂中，∠QF₁F₂=60°，∠QF₂F₁=30°
Rt△QF₁F₂中，|F₁F₂|=2c（椭圆的焦距），
∴|QF₁|=

1

2

|F₁F₂|=c，|QF₂|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c
根据椭圆的定义，得2a=|QF₁|+|QF₂|=（1+

3

）c
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2c

(1+ 3 )c

=

3

-1
故选：A

点评：本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．