已知函数f(x)=-12x+14.x∈[0.12]2x2x+2.x∈(12.1]g(x)=asin(π3x+3π2)-2a+2.给出下列结论:结论:①函数f(x)的值域为[0.23],②函数g(x)在[0.1]上是增函数,③对任意a＞0.方程f在[0.1]内恒有解,④若存在x1.x2∈[0.1].使得f(x1)=g(x2)成立.则实数a的取值范围是[49.45]．其中所有正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）=

，x∈[0，

]

2x2

x+2

，x∈(

，1]

g（x）=asin（

3π

）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
结论：
①函数f（x）的值域为[0，

]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[

，

]．
其中所有正确结论的序号是

．

考点：分段函数的应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；
求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；
由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．

解答： 解：当x∈[0，

]时，f（x）=

x是递减函数，则f（x）∈[0，

]，
当x∈（

，1]时，f（x）=

2x2

x+2

=2（x+2）+

x+2

-8，f′（x）=2-

(x+2)2

＞0，则f（x）在（

，1]上递增，
则f（x）∈（

，

]．
则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，

]，故①正确；
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（

3π

）-2a+2（a＞0）=-acos

x-2a+2，
由a＞0，0≤

x≤

，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；
由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2-3a，2-

]，
若2-3a＞

或2-

＜0，即0＜a＜

或a＞

，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；
故存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则

2-3a≤

≥0

解得

≤a≤

．
故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．

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