Question

如图，已知球O，球面上有四点P、A、B、C，且PC、PA、PB两两垂直，PC=5，PA=3，PB=4，若过C点的直径为CD，求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间角,空间向量及应用

分析：由已知得A、B、C、D、P是长方体ODBE-FAPC上的五个顶点，以O为原点，OD为x轴，以OE为y轴，以OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CD-A的平面角．

解答： 解：如图，球O的球面上有四点P、A、B、C，
且PC、PA、PB两两垂直，PC=5，PA=3，PB=4，
∴A、B、C、D、P是长方体ODBE-FAPC上的五个顶点，
以O为原点，OD为x轴，以OE为y轴，以OF为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（5，3，4），D（5，0，0），C（0，3，4），A（5，0，4），

DC

=（-5，3，4），

DP

=（0，3，4），

DA

=（0，0，4），
设平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DC =-5x+3y+4z=0 n • DP =3y+4z=0

，
取y=4，得

n

=（0，4，-3），
设平面CDA的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • DC =-5a+3b+4c=0 m • DA =4c=0

，
取a=3，得

m

=（3，5，0），
设二面角P-CD-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

20

16+9 • 9+25

|=

2 34

17

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．