Question

求过点（1，2）与函数f（x）=x³+x的图象相切的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，利用过点（1，2），求出切点坐标即可得到结论．

解答： 解：设切点A（x₀，y₀），
∵y′=3x²+1，
∴切线斜率为k=3x₀²+1，y₀=x₀³+x₀，
∴对应的切线方程为y-（x₀³+x₀）=（3x₀²+1）（x-x₀），
即y=（x₀³+x₀）+（3x₀²+1）x-x₀（3x₀²+1）=（3x₀²+1）x-2x₀³，
又切线过（1，2），
∴2=3x₀²+1-2x₀³，
即2x₀³-3x₀²+1=0，
2x₀²（x₀-1）-（x₀-1）（x₀+1）=（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
即（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
解得x₀=1或x₀=-

1

2

，
∴切线方程为：y=4x-2或y=

7

4

x+

1

4

．

点评：考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．