Question

一次高中数学期末考试，选择题共有12个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得0分，选对得5分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的8个题，该考生做对了这8个题．其余4个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（1）在这次考试中，求该考生选择题部分得60分的概率；
（2）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为X，求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件A，选对“可判断有一个选项不符合题目要求”试题的选项为事件B，选对“可判断有两个选项不符合题目要求”试题的选项为事件C，根据题意得P（A）=

1

4

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

2

．由此能求出在这次考试中，该考生选择题得60分的概率
（2）由题意知随机变量X可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．

解答： 解：（1）设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件A，
选对“可判断有一个选项不符合题目要求”试题的选项为事件B，
选对“可判断有两个选项不符合题目要求”试题的选项为事件C，
根据题意得P（A）=

1

4

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

2

．
在这次考试中，该考生选择题得60分的概率：
P=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

48

．
（2）由题意知随机变量X可能的取值为40，45，50，55，60，
根据题意得P（X=40）=

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
P（X=45）=

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

17

48

，
P（X=50）=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

17

48

，
P（X=55）=

C

1 2

×

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

7

48

，
P（X=60）=

1

4

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

48

X的数学期望EX=40×

1

8

+45×

18

48

+50×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．