Question

已知函数f(x)=

sinx

x

，下列命题正确的是

②④

．（写出所有正确命题的序号）
①f（x）是奇函数
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当x=

3

2

π时，f（x）取得极小值；
④f（2）＞f（3）
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β）则β•cosα=-α•sinβ

Answer 1

分析：判断出函数的奇偶性，可判断①，求出函数的值域，可判断②；判断出函数的极值点，可判断③；利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断④，数形结合分析出βcosα=-sinβ，可判断⑤．

解答：解：①函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=

sin(-x)

-x

=

sinx

x

=f（x），∴f（x）是偶函数，故①错误；
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，∵x≠0，∴

sinx

x

＜1成立，故②正确；
③∵f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，∵f′（

3π

2

）=

4

9π2

≠0，∴x=

3π

2

 不是极值点，∴③错误；
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，∴④正确；
⑤
因为|

sinx

x

|=k（ x＞0）有且仅有两个不同的根α，β，所以，k＞0 
因为x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因为，α＞β 
所以，α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，f（x）=|

sinx

x

|=-

sinx

x

f'（x）=

-xcosx+sinx

x2

，令f'（x）=0，
则αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，

sinβ

β

=k
所以，

sinβ

β

=-cosα
即：βcosα=-sinβ，故⑤错误
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．