Question

已知函数f(x)=alnx-

1

2

x2+

1

2

（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，结合函数的定义域，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，求得f（x）在[1，+∞）上的单调性，即可求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

-x2+a

x

．…（2分）
令f′（x）=0得x=

a

或x=-

a

（舍）．
函数f（x），f′（x）随x的变化如下：

x	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以f（x）的单调递增区间是（0，

a

），单调递减区间是（

a

，+∞）．…（6分）
（2）由（1）可知：
①当

a

≤1，即0＜a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴f_max（x）=f（1）=0…（9分）
②当

a

＞1，即a＞1时，f（x）在[1，

a

）上单调递增，（

a

，+∞）上单调递减．
∴fmax(x)=f(

a

)=

alna-a-1

2

…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．