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    设
    3
    2
    ≤x≤5，证明不等式：2
    		x+1
    +
    		2x-3
    +
    		15-3x
    ＜2
    		19
    ．
    分析：先利用均值不等式，再利用函数的单调性，即可证得结论．
    解答：证明：由均值不等式可得
    		x+1
    +
    		x+1
    +
    		2x-3
    +
    		15-3x
    4
    ＜
    x+1+x+1+2x-3+15-3x
    4
    =
    14+x
    4

    ∴2
    		x+1
    +
    		2x-3
    +
    		15-3x
    ＜2
    		14+x

    ∵
    3
    2
    ≤x≤5，∴y=2
    		14+x
    单调递增，∴2
    		14+x
    ≤2
    		19

    ∴2
    		x+1
    +
    		2x-3
    +
    		15-3x
    ＜2
    		19
    ．
    点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•辽宁）设f(x)=lnx+
    		x
    -1    ，证明：
    （Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜
    3
    2
    （ x-1）；
    （Ⅱ）当1＜x＜3时，f(x)＜
    9(x-1)
    x+5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x+
    m
    x
    +m    （x∈[1，+∞）且m＜1）．
    （Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
    （Ⅱ）设函数g(x)=x•f(x)+2x+
    3
    2
    ，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．

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    科目：高中数学 来源：湖北 题型：解答题

    设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．

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