Question

【题目】已知函数，.

（I）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；

（II）若函数有且仅有一个零点，求的值；

（III）若函数有两个极值点，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）；（III）

【解析】

（I）利用导函数求出函数在点，（1）处的切线方程，和函数联立后由判别式分析求解公共点个数；

（II）写出函数表达式，由得到，求函数的最小值既是所要求的的值；

（III）写出函数的表达式，构造辅助函数，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当大于函数最小值的情况，进一步求出当时的的值，则答案可求．

解：（I）由，得，

（1），又（1），

曲线在点，（1）处的切线方程为，

代入，得，

当或时，△，有两个公共点；

当或时，△，有一个公共点；

当时，△，没有公共点．

（II），

由，得，

令，，

在上递减，在上递增，

因此，（1）．

（III），

令，

，

即有两个不同的根，，

令，

且当时，随的增大而增大；

当时，

，

，

此时．

即时，

．