Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象关于直线x=

π

3

对称，它的最小正周期为π．则函数y=f（x）图象上离坐标原点O最近的对称中心是

(

π

12

，0)

．

Answer 1

分析：先根据函数的最小正周期求出ω的值，因为函数的对称轴为x=

π

3

，所以在对称轴左右两侧取关于对称轴对称的两个x的值，则其函数值相等，就可求出∅的值，得到函数的解析式．再根据基本正弦函数的对称中心求出此函数的对称中心即可．

解答：解：函数f（x）=Asin（ωx+∅）的周期T=

2π

w

=π，∴ω=2
∵函数f（x）=Asin（2x+∅）的图象关于直线x=

π

3

对称，∴f（0）=f（

2π

3

）
即Asin∅=Asin（

4π

3

+∅），化简得，sin∅=-

3

2

cos∅-

1

2

sinφ

3

2

sin∅=-

3

2

cos∅，tan∅=-

3

3

，
又∵|∅|＜

π

2

，∴∅=-

π

6

，∴f（x）=Asin（2x-

π

6

）
令2x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得，x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函数y=f（x）图象的对称中心是（

π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z
其中，离坐标原点O最近的对称中心是（

π

12

，0）
故答案为（

π

12

，0）

点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象与性质，解题时借助基本的正弦函数的图象和性质．